新型コロナウイルス感染症のSIQRモデルからわかることー小田垣教授の論文の読み方
新型コロナウイルスの数理モデルによる分析では、日本の専門家として８割おじさんこと北大の西浦教授がおなじみであるが、その他にも他分野であるが九大の小田垣名誉教授によるPCR検査拡大による感染抑制効果の提言が注目を集めた。
ここでは、小田垣名誉教授の論文を読んだ結果をもとに数理モデルからわかるエッセンスをまとめてみた。
１ 数理モデルの超概要と小田垣教授の改良
感染症の数理モデルは1927年のシンプルなSIRモデルが基本となっている。Sは未感染者、Iは感染者、Rは治癒者＋死者で、人口N＝S+I+Rや感染率等を使ってこれらの関係を式であらわし分析を行うものである。このSIRモデルを元に例えば潜伏期Eを加えたSEIRモデル等が考案されてきた。最近は人の移動などをビッグデータと連携してより実際に近い形で分析が行われているようである。
新型コロナウイルスは、これまでの感染症にはなかった特徴がある。それは、ほぼ無症状で活動する市中感染者が多く、彼らが強い感染力で感染を広げていることである。そこで、小田垣名誉教授は、SIRモデルに対して、検査で陽性となり隔離された感染者QをSIRモデルに追加し、Iを市中を自由に動き回り感染を広げる市中感染者として分離した。
このS、I、Q、Rについて、それぞれ微分方程式が出てくるが、必ずしも理解は必要ないのでここでは書かない。高校数学の知識があれば、当たり前のことが書いてあるだけと容易に理解できる。例えば、市中感染者数の増加は、感染したがまだ検査を受けてない人から、検査が陽性で隔離された人を除き、さらに市中感染のまま治った人を除いた数になる、とかである。
2 市中感染者 I を求める
感染初期で、人口Nに対して感染者や治癒者死者等が十分小さくて未感染者S＝人口Nと近似できる場合、Iについての微分方程式は解くことができて、市中感染者Iは、t=0でI(0)とすると、I(t)は次のような簡単な式となる。tは時間で、感染症の場合は日数である。
I(t) = I(0)exp(λt) （１）
ただし λ = βN - q - γ （２）
ここでβNは、感染率である。βとNの掛け算で係数になっているので、βNを一つの記号と考えるとわかりやすい。βNは、人と人との接触を減らすと減る。あの西浦教授の接触率を８０％減らす話は、基本はβNを80%減らす話と考えられる。
qは、市中感染者からPCR検査等の検査で陽性が判明し、隔離される人の率である。
γは、市中感染者が人知れず自然治癒して人にうつさなくなる率である。
exp(λt)は、eという約2.71の定数の(λt)乗である。対数指数の詳細は高校数学の範囲であるが詳細の理解は不要である。ただ、次の性質を理解しておけばよい。テレビでよく「指数関数になるので」とキャスターがあっさり説明しているところである。iphoneの電卓を横にすると関数電卓になるが、exp(3)は３を押してeのx乗を押せば20.09と出るので雰囲気はこれでつかめる。
さて、重要なのは(1)式で表せられるI(t)の下記の性質である。
Iは市中感染者数で縦軸に、tは日数で横軸にとる。
λ＞０の時、市中感染者数は日数がたつとどんどん大きくなる。
λ＝０の時、市中感染者数は増えない。
λ＜０になると、市中感染者は減少する。
I(0)=1として、(1)式のI(t) = I(0)exp(λt)のグラフを書いてみると次のようになる。λは0.3と0と-0.3で書いた。
尚、このλについての感染者数との関係の概要は次のとおりである。
（１）感染拡大局面（λ＞０）
λ＝0.1 のレベルは、累積感染者が5～6日で2～3倍になる。日本の増加局面に相当する。
λ＝0.3 になると、累積感染者が2日で2倍弱となる。日本の専門家会議の言うオーバーシュートである。欧米はこの水準だったと思われる。
λ= 0.5 になると、累積感染者が2日で3倍、5日で10倍のレベルの爆発である。
（２）感染横ばい局面
これはλ＝０である。例えば、現在のアメリカ全体の水準である。
（３）感染減少局面（λ＜０）
λ＝-0.075 のレベルでは、新規感染者が1/10になるまで、30日かかる.日本の緊急事態宣言局面に相当する。
λ＝-0.1 では、新規感染者が1/10になるまで、23日かかる
λ＝-0.2 では、新規感染者が1/10になるまで、12日かかる
λ＝-0.3 では、新規感染者が1/10になるまで、8日かかる
３ 数理モデルからわかる感染対策
小田垣教授は、感染減少局面での対策について、接触減よりも陽性者発見隔離の方が効果が大きいことを指摘して注目されたが、他にも重要な知識が得られるので、指摘したい。
3-１ 日本はオーバーシュートしない可能性があるが……
小田垣教授は、日本の新規感染者のカーブから、感染初期で接触減対策や陽性者隔離が少なかった時期の（１）式のλをλ＝0.096と同定している。これ以降は対策をとってλを減らしていっている。ということは対策を何らとらずに放置しても累積感染者数は5-6日で2～3倍になるだけなので、専門家会議の定義のオーバーシュート（累積感染者が2～3日で２倍になる）はしないということになる。
（２）式から、λ＝βN-q-γであるが、治癒率は30日に治癒ととしてγ=0.03、初期なので隔離率q=0、として、小田垣論文では、感染率βN＝0.126としている。欧米でオーバーシュートしたということはλ＝0.3のレベルであるので、γ=0.03,q=oは同じとして、感染率βN=0.33であると推定される。
これは、普通に（多少気を付けて）生活しているとき、新型コロナの感染率は、欧米は日本の２．６倍であることを示唆する。
日本と欧米の生活習慣の差が、基本的な感染率の大きな差になって表れた可能性がある。第二波（第三波）の時にも、海外からの新規感染者の流入が少なければ、普通に（多少気を付けて）生活しているときの感染率βNは、0.126の低いレベルで収まるだろう。
日本の緊急事態宣言は、オーバーシュート回避ではなく、まさに医療体制の維持を目的に行われたことになる。第二波、第三波をのりきるためには、医療体制の整備を行うと共に、海外からの新規感染者侵入防止（例えばPCR検査義務付け）が必要となる。
3-2 感染拡大局面での有効な対策
感染拡大局面では、λ＜０．１でできれば０に近いところに抑えたい。（２）式から治癒率γ＝0.03なので、
λ＝βN - q -0.03
となるが、βNが0.126のレベルなので、隔離率q=0.096ならばλ=0にできる。実際、４月には横ばいとなった。
これは、東京都で新規陽性判明者150人、陽性率30%の時期なので、500人のPCR検査を行い、市中感染者が1560人いて、そのうち9.6%の150人の陽性者を発見して隔離したということである。
新型コロナウイルスでは、無症状感染者が３５％、軽症者が４５％、重症者が２０％とすると、症状が重いものを中心に濃厚接触者をPCR検査する手法では、感染者が少ないうちは、クラスター周辺を追うだけでも、ある程度の隔離率（例えばγ=0.3とか）を維持できるので、γ<0にできるが、感染者が増加してくると、無症状感染者や軽症者のかなりの部分を放置せざるを得ないので、q=0.096に留まったと考えられる。
日本では、βN=0.126のレベルなので、隔離率qを0.15くらいにあげられれば、もっと早く第一波が収まったと考えられる。日本の場合にも、PCR検査を５倍くらいにできていれば、行動制限はあまりせずに小さい山で終わった可能性がある。
韓国では、無症状の市中感染者が広まらない早い段階（感染者の第二世代とか）で大量のPCR検査をかけて、高い隔離率を実現して火消ししたと思われる。韓国と台湾は、無症状感染者が広まっていない段階で火消したと考えられる。
欧米では、βN=0.3のレベルなので、隔離率qも0.3レベル以上でないと減らない。感染者が数百人になり市中感染者が万に近いレベルになると無症状感染者も数千人いるので多少のPCR検査の量では、隔離率qを市中感染者の3割（症状ありの人の5割）とするのは不可能である。従って、ロックダウンを行いβNを1/3とか1/4にする必然があった。
3-3 感染減少局面での有効な対策
小田垣教授の論文の要点であるが、数理モデルの式から当然のこととわかる。
（２）式から、治癒率γが0.03としたので、
λ = βN - q - 0.03
で、λを-0.1にもっていければ、23日で新規感染者数が1/10に減る。
対策としては、感染率βNを接触減などで減らし、陽性者を見つけて隔離率ｑを増加させればよいが、どちらがλのマイナスの数値を増加させるのに有効かを考える。感染率βNは日本の場合0.126程度なので、頑張って接触率を8割減らして感染率βNを0.0252にしても肝心のλは0.1しか減らない。
一方、隔離率qは、陽性者を4倍見つけて隔離することができれば、q=0.096がq=0.384で、λを0.288も減らすことができる。
接触率削減によるλ削減の最大値は、接触率を０にしても、0.126であるが、隔離率向上によるλ削減の最大値は、隔離率１なので１であり、明らかに、接触率削減よりも隔離率向上によるλ削減効果のほうが大きい。
小田垣教授の論文は、感染症の数理モデルによる式（２）の構造で規定されるこの事実を具体的に指摘したものである。
さて、小田垣教授の論文の補遺にも書いてあるように、PCR検査を増やせばγが減るのではない。陽性者を確実に検査でヒットして実際に隔離数を増加させる必要がある。そのためには、これまで実施されたクラスターでの濃厚接触者の検査をもれなく拡大するほかに、発症時から前にさかのぼって接触者の検査を実施する必要がある。このレベルが日本の感染率βNのレベルではPCR検査が一日１０万件と言われているレベルと思われる。
尚、小田垣教授の論文から、新規感染者のカーブからλを同定したときのカーブをイメージアップのために、下記に参考掲載させていただく。
４ 数理モデルからわかるその他のこと
4-1 実効再生産数
数理モデル上の基本再生産数Roは、Ro = βN / γで定義される。
小田垣教授のSIQRモデルでは、隔離率qを導入したので、実効再生産数にあたるRt(t) = βN / (q + γ）となるが、プリ版では記載あったが、正式版では別途有効再生産数Reを定義して考察している。
いずれにしても、数理モデル上のRoやRtは、感染者数が増加するか減少するかの境目の値（閾値）だけの意味である。λ=βN - q- γがすべてで、Rt=1の時にλ=0となり、λの正負の境目となるというだけの意味である。
現在、算出されている実行再生産数は、感染対策等をした上で、実際に一人が何人に感染させているかを、感染者の実績のカーブから求めているものが多いと思われ、その意味で感染者のカーブから特徴を無次元化して表現したものである。ブロックチェーンでも使われるハッシュ値のようなものと考えられる。
感染状況の不均一性などを入れていれば、その精度はあがる。いずれにしても過去の対策をうった結果の総合評価値といってもよい。
4-2 感染者実数
小田垣教授の論文では、日ごと新規感染者数(検査陽性判明者数）をΔQ(t)とすると隔離率ｑの定義から、市中感染数Iは、下記で表される。
I(t) = ΔQ(t) / q
日本の場合、上昇局面で隔離率が0.06と同定されたので日ごと新規感染者の１６倍の市中感染者数がいたことになる。対策がきいてきた局面では隔離率qが0.1と同定されたので、日ごと新規感染者数の１０倍の市中感染者が存在したことになる。
累計感染者実数の推定はまた別の計算になるが、レベルとして東京なら感染者累計が5千人なので感染者実数の累計も数万レベルかと思われる。東京の人口1400万の0.1%とか0.2%である。最近の抗体検査の結果では、一頃5%とか言われていたものかずっと少なくて0.5%くらいの可能性がある模様だが、小田垣教授の論文で同定されたq値からも、抗体獲得者はまだ少ないだろうと予測される。日本の新型コロナウイルスの感染はまだ広まっておらず、集団免疫的にはまだまだである。
５ SIQRモデルでおかれている仮定について
小田垣教授の論文では種々の仮定をおいているので、見通しがいい反面、注意を要することを列記した。
5-1 感染者が人口に対して小さいという仮定をおいてる
ニューヨークのように、感染者累計が２０％を超えるような全人口に対して無視できないほど大きくなった流行後は別の計算が必要である。
5-2 感染カーブの同定の精度
日本の感染者カーブは、２月頃の武漢株をクラスター対策でで抑え、３月からの欧州株が流行して山を形成していると言われているが、小田垣教授の同定では武漢株をクラスター対策で抑えたところは無視している。同様に、国の外（例えば欧州）から感染者が流入することがモデルに入っていない。これらは微妙であるλの同定の精度に影響を及ぼしていると思われる。
5-3 治癒率γ
治癒率は、感染可能期間で当初は治癒するまで３０日間感染可能と考えられていたが、最近の知見では、発症前の５日から発症後の７日くらいの計2週間しか感染しないと言われており、γは0.03でなく0.07の可能性がある。
5-4 感染者の偏在を考慮していない
感染者が市中から均一に見つかるという仮定が入っているが、実際にはクラスターでわかるようにかなり偏在しているので、この影響は大きいかもしれない。西浦教授らの専門家の分析にはきっと考慮されているものと思う。
＜参考資料＞
1) 小田垣孝 新型コロナウイルスの蔓延に関する一考察 2020/5/15 物性研究・電子版(2020年5月号）
参考 小田垣孝 新型コロナウイルスの蔓延に関する一考察 2020/5/5 (プリ版）
2) 小田垣孝 同上 補足 2020/5/8
3) 小田垣孝 同上 補足 PCR検査の精度について 2020/5/8
4) 小田垣孝 何故隔離者を分けたモデルを考えるか 2020/5/9
1)-4) http://www001.upp.so-net.ne.jp/rise/odagaki.php
5)佐野雅己 隔離と市中感染者を分けるSIRモデル 2020/4/29
6) 牧野淳一郎、科学 90 巻5 号(岩波書店 2020年5月)掲載予定
https://www.iwanami.co.jp/kagaku/Kagaku_202005_Makino_preprint.pdf
7) 門信一郎 この感染は拡大か収束か：再生産数Rの物理的意味と決定
https://rad-it21.com/サイエンス/kado-shinichiro_20200327/
8) 西浦博 稲葉寿 感染症流行の予測：感染症数理モデルにおける定量的課題 統計数理2006
9) 西浦博 感染症数理モデルから明らかになってきた最近の感染症の話題 ラジオNIKKEI 感染症TODAY 2018/6/27
http://medical.radionikkei.jp/kansenshotoday_pdf/kansenshotoday-180627.pdf
10)野村明弘 8割おじさん・西浦教授が語る「コロナ新事実」東洋経済オンライン2020年5月26日
11) Wikipedia SIRモデル 2020/5/10
12) Wikipedia 基本再生産数 2020/5/26
